Uma equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é homogênea quando M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas. Em geral, para resolver uma equação diferencial homogên...

Para resolver a equação diferencial \(x^2 + y^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0\), primeiro podemos reescrevê-la na forma \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\), onde \(M(x,y) = x^2 + y^2\) e \(N(x,y) = -2xy\). Para verificar se a equação é homogênea, podemos calcular \(M(tx,ty)\) e \(N(tx,ty)\) e ver se são iguais a \(t^k\) vezes \(M(x,y)\) e \(N(x,y)\), respectivamente, para algum \(k\). Calculando \(M(tx,ty)\), temos: \(M(tx,ty) = (tx)^2 + (ty)^2 = t^2(x^2 + y^2) = t^2M(x,y)\). Calculando \(N(tx,ty)\), temos: \(N(tx,ty) = -2(tx)(ty) = -2t^2xy = t^2N(x,y)\). Portanto, a equação é homogênea. Para resolver essa equação diferencial homogênea, podemos fazer a substituição \(y = vx\), onde \(v\) é uma nova variável. Assim, temos \(dy = xdv + vdx\). Substituindo \(y = vx\) e \(dy = xdv + vdx\) na equação diferencial original, obtemos: \(x^2 + (vx)^2 - 2x(vx)\frac{dv}{dx} = 0\). Simplificando, obtemos: \(x^2(1 - v + v^2\frac{dv}{dx}) = 0\). Agora, podemos resolver essa equação diferencial resultante para encontrar a solução. Portanto, a alternativa correta é: e. \(y = \pm \sqrt{x^2 - x^3 + c}\).