O que vimos nessa seção é que uma EDO linear L[y] = g(x) possui solução única, desde que os coeficientes e a função g(x) satisfazem algumas condiçõ...

O que vimos nessa seção é que uma EDO linear L[y] = g(x) possui solução única, desde que os coeficientes e a função g(x) satisfazem algumas condições. O que faremos nas próximas seções é apresentar métodos para obtenção de solução de L[y] = g(x) em alguns casos. constantes. Pelo Teorema 3.9, se conseguirmos duas soluções LI, então obtemos a solução geral da EDO. Vamos procurar por soluções da forma y = emx, em que m ∈ R deve ser determinado. Calculamos y′ e y′′ y′ = memx, y′′ = m2emx e substituímos na equação ay′′ + by′ + cy = 0, temos am2emx + bmemx + cemx = 0 ⇒ (am2 + bm+ c)emx = 0. Desde que emx 6= 0, para que y = emx seja solução, precisamos que m seja raiz da equação am2 + bm+ c = 0. Essa equação é chamada de equação característica da EDO ay′′ + by′ + cy = 0. Sendo uma equação do segundo grau, existem 2 raízes m1 e m2 da equação característica e temos três casos a considerar, dependo do discriminante b2 − 4ac da equação característica: (i) m1 e m2 são raízes reais e distintas, caso b2 − 4ac > 0; (ii) m1 e m2 são raízes reais e iguais, caso b2 − 4ac = 0; (iii) m1 e m2 são raízes complexas e conjugadas, caso b2 − 4ac < 0. emana 3 47 Caso I. Raízes reais distintas Nesse caso, obtemos duas soluções y1(x) = em1x e y2(x) = em2x. Podemos verificar que essas soluções são LI calculando o wronskiano: W [y1, y2](x) =  em1x em2x m1em1x m2em2x  = m2e(m1+m2)x −m1e(m1+m2)x = (m2 −m1)e(m1+m2)x. Como m1 6= m2, então m2 −m1 6= 0 e, assim, W [y1, y2](x) 6= 0, para todo x ∈ R. Portanto, y1(x) = em1x e y2(x) = em2x formam um conjunto fundamental de soluções e, então, a solução geral da equação ay′′ + by′ + cy = 0 é dada por y(x) = c1em1x + c2em2x em que c1 e c2 são constantes arbitrárias. Exemplo 3.14. Determine a solução do PVI  y′′ + 5y′ + 3y = 0 y(0) = 0 y′(0) = 1 Primeiro, vamos determinar a solução geral da equação y′′ + 5y′ + 3y = 0. A equação característica é dada por m2 + 5m+ 3 = 0, cujas raízes são m1 = −5 + √ 13 2 e m2 = −5− √ 13 2 . Logo, a solução geral é dada por y(x) = c1e −5+ √ 13 2 x + c2e −5− √ 13 2 x. Agora, precisamos determinar as constantes c1 e c2 de modo a satisfazer as condições iniciais impostas. Calculando y′(x), obtem