Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial dy_dx=xy+3x-y-3 - Equação diferencial ordinária (EDO) - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial .= xy + 3x - y - 3
dy
dx
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso reescrever a EDO para possibilitar sua solução, como segue;
 
= xy + 3x - y - 3 = x y + 3 - y - 3 = x y + 3 - y + 3
dy
dx
→
dy
dx
( ) →
dy
dx
( ) ( )
 
= y + 3 x - 1 = x - 1 dx→
dy
dx
( )( ) →
dy
y + 3( )
( )
Agora, para chegar na solução, devemos integrar os 2 membros da igualdade:
 
dy = x - 1 dx∫ 1
y + 3( )
∫( )
 
Resolvendo as integrais, fica;
 
1 dy u = y + 3 du = dy du ln u = ln y + 3)∫ 1
y + 3( )
→ → →∫1
u
→ ( ) ( )
 
2 x - 1 dx = - x)∫( ) x
2
2
Substituindo os resultados nas integrais da EDO, fica;
 
dy = x - 1 dx ln y + 3 = - x + c∫ 1
y + 3( )
∫( ) → ( ) x
2
2
 
Usando propriedades exponenciais, reescrevemos essa igualdade como :
 
e = eln y+3( )
-x+c
x
2
2
 
Agora, resolvemos e isolamos y;
 
 
 
e = e y + 3 = e y x = e - 3ln y+3( )
-x+c
x
2
2
→
-x+c
x
2
2
→ ( )
-x+c
x
2
2
 
 
(Resposta )