1) As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos (x,y,z) do espaço cartesiano que satisfazem a uma equação da forma f(x,y,z) = 0, sen...

A resposta dada pela IA do PD está incorreta!

O certo é: c) -2y + z - 4 =0

O material, com demais soluções da tarefa, está disponível aqui no PD. https://www.passeidireto.com/arquivo/125881898

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Para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície, podemos utilizar o conceito de derivadas parciais. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z da função f(x, y, z) = z - 3x² - y²: ∂f/∂x = -6x ∂f/∂y = -2y ∂f/∂z = 1 Agora, vamos encontrar os valores das derivadas parciais no ponto P(0, -1, 2): ∂f/∂x (0, -1, 2) = -6(0) = 0 ∂f/∂y (0, -1, 2) = -2(-1) = 2 ∂f/∂z (0, -1, 2) = 1 A equação do plano tangente é dada por: ∂f/∂x (P)(x - x₀) + ∂f/∂y (P)(y - y₀) + ∂f/∂z (P)(z - z₀) = 0 Substituindo os valores, temos: 0(x - 0) + 2(y - (-1)) + 1(z - 2) = 0 2(y + 1) + (z - 2) = 0 2y + z = 0 Portanto, a equação do plano tangente à superfície z = 3x² + y², passando pelo ponto P(0, -1, 2), é 2y + z = 0.

c) -2y + Z - 4 = 0