Matematica todos os anos (141)

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84. Problema: Determine a área da região limitada pela curva \( y = \sqrt{x} \), o eixo \( x \), 
e as linhas \( x = 0 \) e \( x = 4 \). 
 Resposta: A área é \( 8 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Integramos a função \( \sqrt{x} \) entre \( x = 0 \) e \( x = 4 \) para encontrar a 
área. 
 
85. Problema: Calcule \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - 5x} \). 
 Resposta: O limite é 3. 
 Explicação: Dividimos todos os termos por \( x^2 \) e depois tomamos o limite conforme 
\( x \) se aproxima do infinito. 
 
86. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: \( 2x + 3y = 11 \) e \( 4x - y = 5 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 Explicação: Podemos resolver o sistema usando substituição ou eliminação para 
encontrar os valores de \( x \) e \( y \). 
 
87. Problema: Encontre a equação da tangente à curva \( y = x^3 - 2x \) no ponto \( (1, -1) \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = 3x - 4 \). 
 Explicação: Calculamos a derivada da função para encontrar a inclinação da tangente 
no ponto dado e, em seguida, usamos a equação da reta para encontrar a equação da 
tangente. 
 
88. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = 3x - 4 \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \). 
 Explicação: Trocamos \( f(x) \) por \( y \), trocamos \( x \) por \( f^{-1}(x) \), e resolvemos 
para \( f^{-1}(x) \). 
 
89. Problema: Encontre as assíntotas verticais da função \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \). 
 Resposta: A assíntota vertical é \( x = 2 \). 
 Explicação: A função tem uma assíntota vertical em \( x = 2 \) porque o denominador se 
torna zero nesse ponto. 
 
90. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \).