Matematica todos os anos (139)

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Explicação: Integramos a função \( \sin(x) \) entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \) para encontrar a 
área sob a curva. 
 
72. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = \sin(x) 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Subtraímos as duas funções e integramos o resultado entre \( x = 0 \) e \( x = 
\frac{\pi}{4} \) para encontrar a área. 
 
73. Problema: Determine o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Utilizamos a definição de limite para avaliar a função quando \( x \) se 
aproxima de 0. 
 
74. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: \( 3x - y = 5 \) e \( 2x + 4y = 10 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 Explicação: Podemos resolver o sistema usando substituição ou eliminação para 
encontrar os valores de \( x \) e \( y \). 
 
75. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 0) 
\). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Calculamos a derivada da função para encontrar a inclinação da tangente 
no 
 
 ponto dado e, em seguida, usamos a equação da reta para encontrar a equação da 
tangente. 
 
76. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = 3x + 4 \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{x - 4}{3} \). 
 Explicação: Trocamos \( f(x) \) por \( y \), trocamos \( x \) por \( f^{-1}(x) \), e resolvemos 
para \( f^{-1}(x) \). 
 
77. Problema: Encontre as assíntotas verticais da função \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \).