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269. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \, dx\). Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica \(u = \tan(\...

269. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \, dx\).
Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica \(u = \tan(\frac{x}{2})\), então \(du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) dx\). Reescrevendo \(\sin(x) - \cos(x)\) em termos de \(\tan(\frac{x}{2})\), obtemos \(\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} (1 + \tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1}{2} (1 + u^2)\). Portanto, a integral se torna \(\int \frac{1}{\frac{1}{2} (1 + u^2)} \, du = 2 \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = 2 \arctan(u) + C = 2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C = 2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C\), onde \(C\) é a constante de integração.

Essa pergunta também está no material:

Matematica avancaçada-104
1 pág.

Matemática Universidade Estácio de SáUniversidade Estácio de Sá

Respostas

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Essa integral pode ser calculada usando a substituição trigonométrica \(u = \tan(\frac{x}{2})\). Assim, a resposta correta é \(2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C\), onde \(C\) é a constante de integração.

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