Questão 004 (UFPR-Adaptada) A opção que representa a solução da equação y'=ex-2y, diferencial de variáveis separáveis é: A) B) X C) D) E)

Para resolver a equação diferencial \( y' = e^x - 2y \) por variáveis separáveis, primeiro isolamos os termos com \( y \) de um lado e os termos com \( x \) do outro lado da equação. Assim, obtemos: \[ \frac{dy}{dx} = e^x - 2y \] \[ \frac{dy}{dx} + 2y = e^x \] Agora, podemos aplicar o método de variáveis separáveis: \[ \frac{dy}{dx} + 2y = e^x \] \[ \frac{dy}{dx} = e^x - 2y \] \[ \frac{dy}{e^x - 2y} = dx \] Integrando ambos os lados, obtemos: \[ -\frac{1}{2} \ln|e^x - 2y| = x + C \] Portanto, a alternativa correta é a letra C).