O coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função f(x) = x arctan (x) no ponto de abscissa x = 1 é

Para encontrar o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função \( f(x) = x \cdot \text{arctan}(x) \) no ponto de abscissa \( x = 1 \), primeiro precisamos encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, determinar a inclinação da reta normal. 1. Encontrando a inclinação da reta tangente: \( f'(x) = \text{arctan}(x) + \frac{x}{1+x^2} \) Calculando \( f'(1) \): \( f'(1) = \text{arctan}(1) + \frac{1}{1+1} = \frac{\pi}{4} \) 2. Encontrando a inclinação da reta normal: A inclinação da reta normal é o oposto negativo da inclinação da reta tangente. Portanto, a inclinação da reta normal é \( -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{1}{\frac{\pi}{4}} = -\frac{4}{\pi} \). Assim, o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função \( f(x) = x \cdot \text{arctan}(x) \) no ponto de abscissa \( x = 1 \) é \( -\frac{4}{\pi} \).