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Geometria Analítica

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7. A condição de alinhamento a respeito de três pontos, nos informa que se o determinante que envolve as coordenadas dos pontos for igual a zero, podemos garantir que os pontos apresentados são colineares. Podemos então concluir que se os pontos não estiverem alinhados, obrigatoriamente eles serão vértices de um triângulo qualquer do plano cartesiano. Analisando os pontos A(3k+2; -1), B(2; 3) e C (-1; 4), encontre a condição para que eles sejam vértices de um triângulo ABC. a) k = -1 b) k ≠ 0 c) k ≠ 3 d) k ≠ 4 e) k ≠ 2

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Para determinar a condição em que os pontos A(3k+2; -1), B(2; 3) e C(-1; 4) são vértices de um triângulo, precisamos garantir que eles não sejam colineares. Isso significa que o determinante formado pelas coordenadas dos pontos deve ser diferente de zero. O determinante para os pontos A, B e C é dado por: \[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3k+2 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ (3k+2)(3-4) - (-1)(2-(-1)) + 1(2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1)) \] Simplificando: \[ (3k+2)(-1) - (-1)(3) + 1(8 + 3) \] \[ = -3k - 2 + 3 + 11 \] \[ = -3k + 12 \] Para que os pontos não sejam colineares, o determinante deve ser diferente de zero: \[ -3k + 12 \neq 0 \] Resolvendo a inequação: \[ -3k \neq -12 \implies k \neq 4 \] Portanto, a condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo é: d) k ≠ 4.

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2. Dois animais estão com cordas fixadas em um mesmo ponto e os vetores representam as forças de tensão estão apresentados a baixo: As componentes do vetor soma u + v que é aquele no qual representamos a força resultante nessas cordas seria:

a) (3; 8)
b) (-3; 6)
c) (2; 8)
d) (-2 ; -4)
e) (0; 7)

7. Considerando o vetor u = (−3; 4; 0) do ℝ, vamos supor que ele represente uma grandeza verificada em um fenômeno físico. O módulo desse vetor ou norma, representa na prática o seu tamanho. Assinale a alternativa que apresenta a norma de u (‖u‖).

a) 12
b) 14
c) 18
d) 10
e) 5

8. Se os vetores u = (−3; 7 ) e v = ( 2; 5) pertencem ao ℝ, a alternativa que contém o valor correto da norma de u − v será:

a) 2
b) √29
c) √5
d) √2
e) √19

5. Dois animais estão amarrados a cordas distintas e irão realizar um trabalho, onde vão aparecer tensões em tais cordas. Estas tensões estão sendo representadas no plano cartesiano abaixo: Determine qual é então a medida do ângulo α, que é na verdade o ângulo existente entre os vetores que estão representando as tensões nas cordas:

a) 92,8º
b) 100,1º
c) 85,2º
d) 12,7º
e) 106,3º

6. Considere as afirmações a seguir que são a respeito do ângluo formado entre dois vetores e logo a seguir julgue-as em verdadeiras ou falsas. I. Quando apresentamos dois vetores no ℝ???? e as suas componentes são tais que esses vetores estão exatamante sobre os eixos coordenados. Podemos afirmar que eles são necessariamente perpendiculares. II. Dois vetores do ℝ???? são perpenciculares, o que acarreta de a norma de cada um deles ser nula. III. Ao calcularmos,segundo a fórmula apresentada, o valor do cosseno do ângulo formado entre dois vetores do ℝ????, se encontrarmos um valor negativo, resulta em termos um ângulo também negativo Podemos então concluir que:

a) as afirmativas I,II e III estão corretas.
b) as afirmativas I e II estão corretas.
c) todas as afirmativas estão incorretas.
d) somente as afirmativas II e III estão corretas.
e) somente a afirmativa I está incorreta.

Encontre, aproximadamente, o ângulo formado entre os vetores do espaço que têm as seguintes componentes u????⃗ = ( 2; 1; −2) e v????⃗ = ( 0; 3; −1).

a) 36,8°
b) 58,2º
c) 24,9º
d) 69,2º
e) 108,3

Ao verificar o conjunto de vetores pertencentes ao espaço vetorial V (M(2,2)), que é o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, determine o valor de k para que o conjunto seja LD (linearmente dependente).
a) K = 0
b) K =-1
c) K = -3
d) K = 3
e) K = 2

Em relação aos conjuntos de vetores apresentados a seguir, podemos afirmar que:
a) O conjunto I é LI e o conjunto II é LD.
b) Ambos os conjuntos de vetores são LI.
c) Ambos os conjuntos de vetores são LD.
d) O conjunto I é LD e o conjunto II é LI.
e) Não podemos classificar em LI e LD dois vetores do plano ℝ????.

7. Uma transformação linear do tipo ????: ℝ???? → ℝ???? tem como característica tomar um vetor do plano ℝ???? e transforma-lo, rotacionando, aumentando-o, diminuindo-o ou fazendo simultaneamente as informações anteriores além de também poder levá-lo a um outro qualquer. De acordo com as informações apresentadas, verificamos a importância de uma transformação linear em vários campos de estudo, como por exemplo na Física, onde se pode aplicar esse estudo em movimentos de braços de forma linear. Observando o esquema gráfico a seguir, determine qual dentre as transformações apresentadas poderia representá-lo. CORRETA a) T( x; y ) = ( x; y ) c) T( x; y ) = ( -x; -y ) e) T(x; y ) = ( y; x ) b) T( x; y) = ( -x; y ) d) T( x; y ) = ( x; -y )

6. Uma hipérbole como a apresentada na figura abaixo, tem como equação geral a seguinte expressão algébrica: a) 9????2 − 25????2 − 225 = 0 b) 25???????? + 9???????? − 225 = 0 c) 9???????? + 25???????? − 225 = 0 d) ???????? − 25???????? − 25 = 0 e) 9???????? − 25???????? + 225 = 0

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Ao verificar o conjunto de vetores pertencentes ao espaço vetorial V (M(2,2)), que é o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, determine o valor de k para que o conjunto seja LD (linearmente dependente).a) K = 0b) K =-1c) K = -3d) K = 3e) K = 2

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b) 14
c) 18
d) 10
e) 5

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a) 2
b) √29
c) √5
d) √2
e) √19

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c) 24,9º
d) 69,2º
e) 108,3

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a) K = 0
b) K =-1
c) K = -3
d) K = 3
e) K = 2