Mostre por meio de um exemplo que lim x→x0 [f(x) + g(x)] pode existir mesmo que nem lim x→x0 f(x) nem lim x→x0 g(x) existam.

Um exemplo clássico que ilustra essa situação é o seguinte: Considere as funções: - \( f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \neq 0 \\ \text{não existe} & \text{se } x = 0 \end{cases} \) - \( g(x) = \begin{cases} -1 & \text{se } x \neq 0 \\ \text{não existe} & \text{se } x = 0 \end{cases} \) Agora, vamos analisar os limites: - \( \lim_{x \to 0} f(x) \) não existe, pois \( f(x) \) não está definida em \( x = 0 \). - \( \lim_{x \to 0} g(x) \) também não existe, pelas mesmas razões. No entanto, se somarmos as duas funções: \[ f(x) + g(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \neq 0 \\ \text{não existe} & \text{se } x = 0 \end{cases} \] Agora, podemos calcular o limite da soma: \[ \lim_{x \to 0} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to 0} 0 = 0 \] Portanto, temos que: \[ \lim_{x \to 0} (f(x) + g(x)) = 0 \] Assim, o limite da soma existe, mesmo que os limites individuais de \( f(x) \) e \( g(x) \) não existam.