Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa: I.( )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes. II.( )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. III. ( ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3. Agora, marque a sequência correta.
I. F
II. V
III. F
A V-F-F
B V-V-F
C V-F-V
D F-V-F

Question

Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).  De acordo com este conjunt...

Ed · Answer

Vamos analisar as afirmações sobre os vetores $ v_1 = (1, -3, 4) $, $ v_2 = (3, 2, 1) $ e $ v_3 = (1, -1, 2) $:

I. ( ) Os vetores $ v_1, v_2 $ e $ v_3 $ são linearmente independentes.  
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Calculando o determinante da matriz formada por $ v_1, v_2 $ e $ v_3 $:

$$
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \
-3 & 2 & -1 \
4 & 1 & 2
\end{vmatrix}
$$

O determinante é igual a 0, o que indica que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, a afirmação I é falsa (F).

II. ( ) Os vetores $ v_1, v_2 $ e $ v_3 $ são linearmente dependentes.  
Como já analisado, os vetores são linearmente dependentes, então a afirmação II é verdadeira (V).

III. ( ) O conjunto $ \{v_1, v_2, v_3\} $ forma uma base para $ \mathbb{R}^3 $.  
Para que um conjunto de vetores forme uma base para $ \mathbb{R}^3 $, eles devem ser linearmente independentes e conter exatamente 3 vetores. Como já vimos que os vetores são linearmente dependentes, a afirmação III é falsa (F).

Portanto, a sequência correta é: I. F, II. V, III. F, que corresponde à alternativa D) F - V - F.

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa:

I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. Para verificar se os vetores são linearmente independentes, precisamos verificar se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são iguais a zero. Vamos fazer essa verificação:

a*v1 + b*v2 + c*v3 = 0
a*(1, -3, 4) + b*(3, 2, 1) + c*(1, -1, 2) = (0, 0, 0)
(a + 3b + c, -3a + 2b - c, 4a + b + 2c) = (0, 0, 0)

Resolver o sistema de equações resultante:
a + 3b + c = 0
-3a + 2b - c = 0
4a + b + 2c = 0

Esse sistema tem solução única com a = b = c = 0, ou seja, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a afirmativa I é falsa (F).

II. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. Como vimos na análise anterior, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a afirmativa II é falsa (F).

III. O conjunto {v1, v2, v3} forma uma base para o R3. Para que um conjunto de vetores seja uma base para R3, ele precisa ser formado por vetores linearmente independentes e gerar todo o espaço R3. Como os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes, eles podem gerar todo o espaço R3. Portanto, a afirmativa III é verdadeira (V).

Assim, a sequência correta é V - F - V, correspondente à alternativa C) V-F-V.

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B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2.
D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.
E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3.

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