Vamos analisar cada uma das afirmações sobre a reta r determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(3,−2,3): I) Uma equação vetorial da reta é r:(x,y,z)=(1,0,1)+k(−2,2,−2). Para encontrar a equação vetorial, precisamos do vetor diretor, que é dado pela diferença entre os pontos B e A: \( \vec{AB} = B - A = (3 - 1, -2 - 0, 3 - 1) = (2, -2, 2) \). A equação vetorial correta deve ser: \( r: (x,y,z) = (1,0,1) + k(2,-2,2) \). Portanto, a afirmação I está incorreta. II) As equações paramétricas da reta são. As equações paramétricas podem ser obtidas a partir da equação vetorial. Com a equação correta, teríamos: \( x = 1 + 2k \) \( y = 0 - 2k \) \( z = 1 + 2k \) Portanto, a afirmação II está correta. III) A equação simétrica da reta é r:x−1−2=y2=z−1−2. A equação simétrica é obtida a partir das equações paramétricas. Com as equações paramétricas que encontramos, a equação simétrica correta seria: \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{-2} = \frac{z - 1}{2} \). Portanto, a afirmação III está incorreta. IV) O ponto P=(−9,10,−9) pertence à reta r. Para verificar se o ponto P pertence à reta, precisamos substituir os valores de P nas equações paramétricas e ver se existe um valor de k que satisfaça todas as equações. Substituindo: \( -9 = 1 + 2k \) → \( k = -5 \) \( 10 = 0 - 2k \) → \( k = -5 \) \( -9 = 1 + 2k \) → \( k = -5 \) Como todos os valores de k são iguais, o ponto P pertence à reta. Portanto, a afirmação IV está correta. Agora, resumindo: - I: Incorreta - II: Correta - III: Incorreta - IV: Correta A alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: e. Somente II e IV estão corretas.