Para calcular o produto misto entre os vetores \( \vec{u} = (-1, -3, 1) \), \( \vec{v} = (1, 0, 1) \) e \( \vec{w} = (2, 1, 1) \), utilizamos a seguinte fórmula: \[ (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \] Primeiro, calculamos o produto vetorial entre \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \): \[ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i} (0 - 1) - \hat{j} (1 - 2) + \hat{k} (1 - 0) \] \[ = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \] Portanto, \( \vec{v} \times \vec{w} = (-1, 1, 1) \). Agora, calculamos o produto escalar entre \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \times \vec{w} \): \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (-1, -3, 1) \cdot (-1, 1, 1) \] \[ = (-1) \cdot (-1) + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \] \[ = 1 - 3 + 1 \] \[ = -1 \] Portanto, o produto misto \( (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \) é igual a -1. Assim, a alternativa correta é: a) (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=−1.