Qual é a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\)? a) \(\arctan x + C\) b) \(\ln |x| + C\) c) \(\frac{1}{x} + C\) d) \(\arcsin x + C\)

Para resolver a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), podemos fazer a substituição trigonométrica \(x = \tan(u)\). Assim, \(dx = \sec^2(u) \, du\) e \(x^2 + 1 = \tan^2(u) + 1 = \sec^2(u)\). Substituindo na integral, temos: \[\int \frac{1}{\tan^2(u) + 1} \cdot \sec^2(u) \, du\] \[\int \frac{1}{\sec^2(u)} \cdot \sec^2(u) \, du\] \[\int du\] \[u + C\] Substituindo \(u = \arctan(x)\) de volta, obtemos: \[\arctan(x) + C\] Portanto, a resposta correta é: a) \(\arctan(x) + C\).