matematica 110001

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c) \(\tan x \big|_{0}^{\pi/4}\) 
 d) 1 
 
 **Resposta:** c) \(\tan x \big|_{0}^{\pi/4}\) 
 **Explicação:** A integral de \(\sec^2 x\) é \(\tan x\), então o valor é \(\tan(\pi/4) - \tan(0) = 
1 - 0 = 1\). 
 
41. Qual é a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\)? 
 a) \(\arctan x + C\) 
 b) \(\ln |x| + C\) 
 c) \(\frac{1}{x} + C\) 
 d) \(\arcsin x + C\) 
 
 **Resposta:** a) \(\arctan x + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é \(\arctan x + C\). 
 
42. Qual é a derivada de \(f(x) = \ln (\cos x)\)? 
 a) \(-\tan x\) 
 b) \(\frac{\sin x}{\cos x}\) 
 c) \(-\cot x\) 
 d) \(\cot x\) 
 
 **Resposta:** a) \(-\tan x\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\ln (\cos x)\) é \(\frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x\). 
 
43. Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\)? 
 a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 b) 1 
 c) \(\frac{\pi}{4}\) 
 d) \(\pi\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Exp 
 
licação:** A integral é a área de um quadrante de círculo de raio 1, que é \(\frac{\pi}{2}\). 
 
44. Qual é a fórmula para a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\)? 
 a) \(u'(x) v(x) + u(x) v'(x)\) 
 b) \(u'(x) v'(x)\) 
 c) \(u(x) v'(x)\) 
 d) \(u'(x) v(x)\) 
 
 **Resposta:** a) \(u'(x) v(x) + u(x) v'(x)\) 
 **Explicação:** Esta é a regra do produto. 
 
45. Qual é a integral de \(\int e^x \cos x \, dx\)? 
 a) \(\frac{e^x}{2} (\cos x - \sin x) + C\) 
 b) \(\frac{e^x}{2} (\cos x + \sin x) + C\) 
 c) \(e^x (\cos x + \sin x) + C\) 
 d) \(e^x (\cos x - \sin x) + C\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{e^x}{2} (\cos x - \sin x) + C\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, obtemos \(\frac{e^x}{2} (\cos x - 
\sin x) + C\). 
Claro, vou gerar 100 questões de matemática com múltipla escolha focadas em equações 
difíceis, com suas respectivas respostas e explicações. Vamos lá: 
 
1. Resolva a equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). 
 - a) \( x = 1, 6 \) 
 - b) \( x = 2, 3 \) 
 - c) \( x = -1, -6 \) 
 - d) \( x = -2, -3 \) 
 - **Resposta: b) \( x = 2, 3 \)** 
 - **Explicação:** Fatorando a equação, temos \( (x-2)(x-3) = 0 \). Portanto, \( x = 2 \) e \( x = 3 
\). 
 
2. Resolva a equação \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 \). 
 - a) \( x = 1, -2, 6 \) 
 - b) \( x = -1, 2, -6 \) 
 - c) \( x = 2, -3, 4 \) 
 - d) \( x = 3, -1, -4 \) 
 - **Resposta: a) \( x = 1, -2, 6 \)** 
 - **Explicação:** Usando o teorema das raízes racionais, podemos verificar que \( x = 1 \) e \( 
x = -2 \) são raízes. Dividindo o polinômio, encontramos a raiz \( x = 6 \). 
 
3. Resolva a equação \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \). 
 - a) \( x = 1, -\frac{2}{3} \) 
 - b) \( x = \frac{2}{3}, -1 \) 
 - c) \( x = \frac{3}{2}, -\frac{2}{3} \) 
 - d) \( x = \frac{3}{2}, \frac{-1}{2} \) 
 - **Resposta: c) \( x = \frac{3}{2}, -\frac{2}{3} \)** 
 - **Explicação:** Usando a fórmula quadrática, as raízes são \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 
16}}{4} \) o que resulta em \( x = \frac{3}{2} \) e \( x = -\frac{2}{3} \). 
 
4. Resolva a equação \( x^2 - 4x + 4 = 0 \). 
 - a) \( x = 2 \) 
 - b) \( x = 4 \) 
 - c) \( x = -2 \) 
 - d) \( x = -4 \) 
 - **Resposta: a) \( x = 2 \)** 
 - **Explicação:** A equação pode ser escrita como \( (x-2)^2 = 0 \). Logo, \( x = 2 \). 
 
5. Resolva a equação \( 3x^2 + 5x - 2 = 0 \). 
 - a) \( x = \frac{1}{3}, -2 \) 
 - b) \( x = \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \)