Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\)? a) \(\frac{\pi}{2}\) b) 1 c) \(\frac{\pi}{4}\) d) \(\pi\)

Para resolver essa integral definida, podemos reconhecer que a função integranda se parece com a derivada da função arco seno. Assim, podemos fazer a substituição \(x = \sin(u)\), e então \(dx = \cos(u) \, du\). A integral definida dada é: \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). Substituindo \(x = \sin(u)\), temos: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(u)}} \cos(u) \, du\). Simplificando, obtemos: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos(u)} \cos(u) \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} du = \left[u\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}\). Portanto, o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\) é \(\frac{\pi}{2}\). Assim, a alternativa correta é: a) \(\frac{\pi}{2}\).