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15. Qual é a integral de \(\int \cos x \, dx\)?

a) \(\sin x + C\)

b) \(-\sin x + C\)

c) \(\cos x + C\)

d) \(-\cos x + C\)

**Resposta:** b) \(-\sin x + C\)

**Explicação:** A integral de \(\cos x\) é \(-\sin x + C\).

a) \(\sin x + C\)
b) \(-\sin x + C\)
c) \(\cos x + C\)
d) \(-\cos x + C\)
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matematica 101111
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UNOPAR

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A integral de \(\cos x\) em relação a \(x\) é \(\sin x + C\), não \(-\sin x + C\). Portanto, a alternativa correta é a) \(\sin x + C\).

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**Explicação:** A série de Taylor de \(e^x\) é \(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\).

11. Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} \left( \ln x^2 \right)\)?

a) \(\frac{1}{x^2}\)

b) \(\frac{2}{x}\)

c) \(\frac{1}{x}\)

d) \(\frac{2 \ln x}{x}\)

**Resposta:** b) \(\frac{2}{x}\)

**Explicação:** \(\ln x^2 = 2 \ln x\). A derivada de \(2 \ln x\) é \(\frac{2}{x}\).

a) \(\frac{1}{x^2}\)
b) \(\frac{2}{x}\)
c) \(\frac{1}{x}\)
d) \(\frac{2 \ln x}{x}\)

12. Qual é a integral de \(\int e^{3x} \, dx\)?

a) \(\frac{e^{3x}}{3} + C\)

b) \(\frac{e^{3x}}{3}\)

c) \(e^{3x} + C\)

d) \(\frac{e^{x}}{3} + C\)

**Resposta:** a) \(\frac{e^{3x}}{3} + C\)

**Explicação:** A integral de \(e^{3x}\) é \(\frac{e^{3x}}{3} + C\), aplicando a substituição.

a) \(\frac{e^{3x}}{3} + C\)
b) \(\frac{e^{3x}}{3}\)
c) \(e^{3x} + C\)
d) \(\frac{e^{x}}{3} + C\)

16. Qual é a fórmula para a regra do trapézio para uma integral definida de \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\) usando \(n\) subintervalos?

a) \(\frac{b - a}{2n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\)

b) \(\frac{b - a}{n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\)

c) \(\frac{b - a}{n} [f(a) + f(b)]\)

d) \(\frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\)

**Resposta:** a) \(\frac{b - a}{2n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\)

**Explicação:** Esta é a fórmula correta para a regra do trapézio com \(n\) subintervalos.

a) \(\frac{b - a}{2n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\)
b) \(\frac{b - a}{n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\)
c) \(\frac{b - a}{n} [f(a) + f(b)]\)
d) \(\frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\)

17. Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\)?

a) \(e - 2\)

b) \(e - 1\)

c) \(e - \frac{1}{2}\)

d) \(e\)

**Resposta:** a) \(e - 2\)

**Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \( \int_{0}^{1} x e^x \, dx = e - 2\).

a) \(e - 2\)
b) \(e - 1\)
c) \(e - \frac{1}{2}\)
d) \(e\)

18. Qual é a integral definida \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx\)?

a) \(\frac{8}{3}\)

b) \(\frac{4}{3}\)

c) \(\frac{2}{3}\)

d) 4

**Resposta:** a) \(\frac{8}{3}\)

**Explicação:** A integral é \(\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}\).

a) \(\frac{8}{3}\)
b) \(\frac{4}{3}\)
c) \(\frac{2}{3}\)
d) 4

20. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)?

a) 0

b) 1

c) \(\infty\)

d) -1

a) 0
b) 1
c) \(\infty\)
d) -1

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