matematica 101111

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**Explicação:** A série de Taylor de \(e^x\) é \(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\). 
 
11. Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} \left( \ln x^2 \right)\)? 
 a) \(\frac{1}{x^2}\) 
 b) \(\frac{2}{x}\) 
 c) \(\frac{1}{x}\) 
 d) \(\frac{2 \ln x}{x}\) 
 
 **Resposta:** b) \(\frac{2}{x}\) 
 **Explicação:** \(\ln x^2 = 2 \ln x\). A derivada de \(2 \ln x\) é \(\frac{2}{x}\). 
 
12. Qual é a integral de \(\int e^{3x} \, dx\)? 
 a) \(\frac{e^{3x}}{3} + C\) 
 b) \(\frac{e^{3x}}{3}\) 
 c) \(e^{3x} + C\) 
 d) \(\frac{e^{x}}{3} + C\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{e^{3x}}{3} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(e^{3x}\) é \(\frac{e^{3x}}{3} + C\), aplicando a substituição. 
 
13. Qual é o valor da derivada de \(f(x) = \sqrt{x}\)? 
 a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) 
 c) \(\frac{1}{2} x^{-1/2}\) 
 d) \(\frac{1}{2x}\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) é \(\frac{1}{2} x^{-1/2} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}}\). 
 
14. Qual é o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)? 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) \(\infty\) 
 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** \(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\) pode ser fatorado como \((x + 1)\). Assim, \(\lim_{x 
\to 1} (x + 1) = 2\). 
 
15. Qual é a integral de \(\int \cos x \, dx\)? 
 a) \(\sin x + C\) 
 b) \(-\sin x + C\) 
 c) \(\cos x + C\) 
 d) \(-\cos x + C\) 
 
 **Resposta:** b) \(-\sin x + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\cos x\) é \(-\sin x + C\). 
 
16. Qual é a fórmula para a regra do trapézio para uma integral definida de \(\int_{a}^{b} f(x) \, 
 
 dx\) usando \(n\) subintervalos? 
 a) \(\frac{b - a}{2n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\) 
 b) \(\frac{b - a}{n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\) 
 c) \(\frac{b - a}{n} [f(a) + f(b)]\) 
 d) \(\frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\) 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{b - a}{2n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]\) 
 **Explicação:** Esta é a fórmula correta para a regra do trapézio com \(n\) subintervalos. 
 
17. Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\)? 
 a) \(e - 2\) 
 b) \(e - 1\) 
 c) \(e - \frac{1}{2}\) 
 d) \(e\) 
 
 **Resposta:** a) \(e - 2\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \( \int_{0}^{1} x e^x \, dx = e - 2\). 
 
18. Qual é a integral definida \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx\)? 
 a) \(\frac{8}{3}\) 
 b) \(\frac{4}{3}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) 4 
 
 **Resposta:** a) \(\frac{8}{3}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}\). 
 
19. Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(\sin x)\)? 
 a) \(\cot x\) 
 b) \(\frac{1}{\sin x}\) 
 c) \(\frac{\cos x}{\sin x}\) 
 d) \(\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\) 
 
 **Resposta:** d) \(\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\ln(\sin x)\) é \(\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x\). 
 
20. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) -1