Grátis: Determine a integral indefinida de ∫ x sin(x^2) dx. A) -1/2 cos(x^2) + C B) 1/2 cos(x^2) + C C) -sin(x^2) + C D) 1/2 sin(x^2) + C Resposta: A) -1/2...

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Determine a integral indefinida de ∫ x sin(x^2) dx.
A) -1/2 cos(x^2) + C
B) 1/2 cos(x^2) + C
C) -sin(x^2) + C
D) 1/2 sin(x^2) + C
Resposta: A) -1/2 cos(x^2) + C
Explicação: Usando substituição u = x^2, então du = 2x dx, ou 1/2 du = x dx. A integral ∫ sin(u) * 1/2 du resulta em -1/2 cos(u) + C.

Desafios Para o Conhecimento

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Analisando a integral dada, ∫ x sin(x^2) dx, podemos utilizar a substituição u = x^2, o que nos leva a du = 2x dx, ou seja, 1/2 du = x dx. Substituindo na integral, temos ∫ sin(u) * 1/2 du, que resulta em -1/2 cos(u) + C. Portanto, a resposta correta é a opção A) -1/2 cos(x^2) + C.

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Qual é a derivada de f(x) = e^{x^2}?
A) 2xe^{x^2}
B) e^{x^2}
C) 2x e^{x^2} imes x
D) 2x e^{2x}
A) 2xe^{x^2}
Explicação: Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de e^{u} é e^{u} imes u', com u = x^2 e u' = 2x, então a derivada é 2xe^{x^2}.

Encontre o valor de f'(x) para f(x) = (x^2 + 1)/x.
A) (2x - (x^2 + 1))/x^2
B) 2x/x^2
C) ((x^2 + 1) - 2x)/x^2
D) 2x/(x^2 + 1)
Resposta: C) ((x^2 + 1) - 2x)/x^2
Explicação: Usamos a regra do quociente: d/dx ((u/v)) = (u'v - uv')/v^2, com u = x^2 + 1 e v = x. Assim, u' = 2x e v' = 1, então a derivada é ((2x * x - (x^2 + 1))/x^2 = (x^2 - 2x)/x^2.

Qual é a integral definida de ∫_0^1 x e^x dx?
A) e - 2
B) e - 1
C) e - 1 - 1
D) e - 1 + 1
Resposta: B) e - 1
Explicação: Usamos integração por partes, u = x e dv = e^x dx. Então du = dx e v = e^x. A integral é [x e^x]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx. Calculando, obtemos e - 1.

Qual é a integral de ∫ 1/sqrt(1 - x^2) dx?
A) sin^{-1}(x) + C
B) cos^{-1}(x) + C
C) tan^{-1}(x) + C
D) ln|sqrt(1 - x^2)| + C
Resposta: A) sin^{-1}(x) + C
Explicação: A integral de 1/sqrt(1 - x^2) é a função arco seno, ou seja, sin^{-1}(x) + C.

Determine o limite de lim_(x -> 0) sin(3x)/x.
A) 3
B) 1
C) 0
D) 2
Resposta: A) 3
Explicação: Usando a regra do limite fundamental lim_(x -> 0) sin(x)/x = 1, temos lim_(x -> 0) sin(3x)/x = 3 * lim_(x -> 0) sin(3x)/3x = 3.

Encontre a derivada de f(x) = sin(x)/x.
A) (x cos(x) - sin(x))/x^2
B) (x sin(x) - cos(x))/x^2
C) (cos(x) - sin(x))/x
D) (cos(x) - x sin(x))/x^2
Resposta: A) (x cos(x) - sin(x))/x^2
Explicação: Usando a regra do quociente: d/dx (u/v) = (u'v - uv')/v^2, com u = sin(x) e v = x. Então, u' = cos(x) e v' = 1, resultando em (x cos(x) - sin(x))/x^2.

Qual é a integral indefinida de ∫ e^{2x} dx?
A) e^{2x}/2 + C
B) e^{2x}/4 + C
C) 2 e^{2x} + C
D) e^{2x}/2 - C
Resposta: A) e^{2x}/2 + C
Explicação: Usamos substituição u = 2x, então du = 2 dx ou dx = 1/2 du. A integral se transforma em 1/2 ∫ e^u du = e^u/2 + C = e^{2x}/2 + C.

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Qual é a derivada de f(x) = e^{x^2}?A) 2xe^{x^2}B) e^{x^2}C) 2x e^{x^2} imes xD) 2x e^{2x}A) 2xe^{x^2}Explicação: Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de e^{u} é e^{u} imes u', com u = x^2 e u' = 2x, então a derivada é 2xe^{x^2}.

Qual é a integral definida de ∫_0^1 x e^x dx?A) e - 2B) e - 1C) e - 1 - 1D) e - 1 + 1Resposta: B) e - 1Explicação: Usamos integração por partes, u = x e dv = e^x dx. Então du = dx e v = e^x. A integral é [x e^x]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx. Calculando, obtemos e - 1.

Qual é a integral de ∫ 1/sqrt(1 - x^2) dx?A) sin^{-1}(x) + CB) cos^{-1}(x) + CC) tan^{-1}(x) + CD) ln|sqrt(1 - x^2)| + CResposta: A) sin^{-1}(x) + CExplicação: A integral de 1/sqrt(1 - x^2) é a função arco seno, ou seja, sin^{-1}(x) + C.

Determine o limite de lim_(x -> 0) sin(3x)/x.A) 3B) 1C) 0D) 2Resposta: A) 3Explicação: Usando a regra do limite fundamental lim_(x -> 0) sin(x)/x = 1, temos lim_(x -> 0) sin(3x)/x = 3 * lim_(x -> 0) sin(3x)/3x = 3.

Qual é a integral indefinida de ∫ e^{2x} dx?A) e^{2x}/2 + CB) e^{2x}/4 + CC) 2 e^{2x} + CD) e^{2x}/2 - CResposta: A) e^{2x}/2 + CExplicação: Usamos substituição u = 2x, então du = 2 dx ou dx = 1/2 du. A integral se transforma em 1/2 ∫ e^u du = e^u/2 + C = e^{2x}/2 + C.

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Qual é a derivada de f(x) = e^{x^2}?
A) 2xe^{x^2}
B) e^{x^2}
C) 2x e^{x^2} imes x
D) 2x e^{2x}
A) 2xe^{x^2}
Explicação: Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de e^{u} é e^{u} imes u', com u = x^2 e u' = 2x, então a derivada é 2xe^{x^2}.

Qual é a integral definida de ∫_0^1 x e^x dx?
A) e - 2
B) e - 1
C) e - 1 - 1
D) e - 1 + 1
Resposta: B) e - 1
Explicação: Usamos integração por partes, u = x e dv = e^x dx. Então du = dx e v = e^x. A integral é [x e^x]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx. Calculando, obtemos e - 1.

Qual é a integral de ∫ 1/sqrt(1 - x^2) dx?
A) sin^{-1}(x) + C
B) cos^{-1}(x) + C
C) tan^{-1}(x) + C
D) ln|sqrt(1 - x^2)| + C
Resposta: A) sin^{-1}(x) + C
Explicação: A integral de 1/sqrt(1 - x^2) é a função arco seno, ou seja, sin^{-1}(x) + C.

Determine o limite de lim_(x -> 0) sin(3x)/x.
A) 3
B) 1
C) 0
D) 2
Resposta: A) 3
Explicação: Usando a regra do limite fundamental lim_(x -> 0) sin(x)/x = 1, temos lim_(x -> 0) sin(3x)/x = 3 * lim_(x -> 0) sin(3x)/3x = 3.

Qual é a integral indefinida de ∫ e^{2x} dx?
A) e^{2x}/2 + C
B) e^{2x}/4 + C
C) 2 e^{2x} + C
D) e^{2x}/2 - C
Resposta: A) e^{2x}/2 + C
Explicação: Usamos substituição u = 2x, então du = 2 dx ou dx = 1/2 du. A integral se transforma em 1/2 ∫ e^u du = e^u/2 + C = e^{2x}/2 + C.