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Qual é o valor de \(x\) se \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)?
A) \(x = 1\)
B) \(x = 2\)
C) \(x = 3\)
D) \(x = 4\)
Resposta: B
Explicação: A equação pode ser fatorada como \((x-1)(x-2)(x-3) = 0\). Portanto, as raízes são \(x = 1\), \(x = 2\), e \(x = 3\). Verificando, \(x = 2\) é uma solução.
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Desafios Para o Conhecimento

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errando e aprendendo XXVI
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ESTÁCIO

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Analisando a equação dada \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\), podemos fatorá-la como \((x-1)(x-2)(x-3) = 0\). Isso ocorre devido ao Teorema do Resto, que nos permite encontrar as raízes de um polinômio. Portanto, as raízes da equação são \(x = 1\), \(x = 2\) e \(x = 3\). Ao verificar as opções fornecidas, vemos que a resposta correta é B) \(x = 2\), como indicado na explicação dada.

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Resolva a equação \(2x^2 - 3x - 5 = 0\).
A) \(x = \frac{5}{2}, -1\)
B) \(x = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{4}\)
C) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}\)
D) \(x = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{4\)
B
Explicação: Utilizando a fórmula quadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), temos \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -5\). Assim, \(x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}\), resultando em \(x = \frac{10}{4}\) e \(x = \frac{-4}{4}\), ou seja, \(x = \frac{5}{2}\) e \(x = -1\).

Se \(a + b = 10\) e \(ab = 21\), qual é o valor de \(a^2 + b^2\)?
A) 67
B) 71
C) 52
D) 100
Resposta: A
Explicação: Usamos a identidade \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\). Então, \(a^2 + b^2 = 10^2 - 2 \cdot 21 = 100 - 42 = 58\).

Resolva a equação \(3x^2 - 5x + 2 = 0\).
A) \(x = 1\) e \(x = \frac{2}{3}\)
B) \(x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6}\)
C) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3}\)
D) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{6}\)
Resposta: B
Explicação: Aplicando a fórmula quadrática, temos \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}\), resultando em \(x = 1\) e \(x = \frac{2}{3}\).

Se \(x^2 + 6x + k = 0\) tem uma raiz igual a 2, qual é o valor de \(k\)?
A) 4
B) 8
C) 10
D) 12
Resposta: B
Explicação: Substituindo \(x = 2\), temos \(2^2 + 6 \cdot 2 + k = 0\), então \(4 + 12 + k = 0\), resultando em \(k = -16\).

Qual é o valor de \(x\) se \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)?
A) \(x = 1\)
B) \(x = -1\)
C) \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}\)
D) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{11}}{4}\)
Resposta: C
Explicação: Aplicando a fórmula quadrática, temos \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\), resultando em \(x = \frac{2}{4}\) e \(x = \frac{-8}{4}\), ou seja, \(x = \frac{1}{2}\) e \(x = -2\).

Resolva \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
A) \(x = \frac{3}{2}\)
B) \(x = \frac{3}{4}\)
C) \(x = \frac{1}{2}\)
D) \(x = -\frac{3}{2}\)
Resposta: A
Explicação: A equação pode ser fatorada como \((2x - 3)^2 = 0\), então \(2x - 3 = 0\) resulta em \(x = \frac{3}{2}\).

Qual é a soma das raízes da equação \(x^2 - 4x + 4 = 0\)?
A) 2
B) -2
C) 4
D) -4
Resposta: C
Explicação: A equação pode ser fatorada como \((x - 2)^2 = 0\), então as raízes são \(x = 2\), e a soma das raízes é \(2 + 2 = 4\).

Qual é o valor de \(x\) se \(5x^2 - 2x - 3 = 0\)?
A) \(x = \frac{1}{5}\)
B) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{10}\)
C) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{34}}{10}\)
D) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{10}\)
Resposta: D

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