errando e aprendendo XXVI

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**Resposta: a) \( e - 2 \)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes, a integral é \( e - 2 \). 
 
50. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta: b) 2** 
 **Explicação:** Esta é a integral de uma função exponencial multiplicada por \( x \), 
resultando em 2. 
Claro! Aqui estão 100 problemas de álgebra desafiadores em formato de múltipla escolha, com 
as respostas e explicações: 
 
1. Resolva a equação \(2x^2 - 3x - 5 = 0\). 
 A) \(x = \frac{5}{2}, -1\) 
 B) \(x = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{4}\) 
 C) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}\) 
 D) \(x = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{4}\) 
 **Resposta: B** 
 **Explicação:** Utilizando a fórmula quadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), 
temos \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -5\). Assim, \(x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-
5)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}\), 
resultando em \(x = \frac{10}{4}\) e \(x = \frac{-4}{4}\), ou seja, \(x = \frac{5}{2}\) e \(x = -1\). 
 
2. Qual é o valor de \(x\) se \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)? 
 A) \(x = 1\) 
 B) \(x = 2\) 
 C) \(x = 3\) 
 D) \(x = 4\) 
 **Resposta: B** 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x-1)(x-2)(x-3) = 0\). Portanto, as raízes 
são \(x = 1\), \(x = 2\), e \(x = 3\). Verificando, \(x = 2\) é uma solução. 
 
3. Se \(a + b = 10\) e \(ab = 21\), qual é o valor de \(a^2 + b^2\)? 
 A) 67 
 B) 71 
 C) 52 
 D) 100 
 **Resposta: A** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\). Então, \(a^2 + b^2 = 
10^2 - 2 \cdot 21 = 100 - 42 = 58\). 
 
4. Resolva a equação \(3x^2 - 5x + 2 = 0\). 
 A) \(x = 1\) e \(x = \frac{2}{3}\) 
 B) \(x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6}\) 
 C) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3}\) 
 D) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{6}\) 
 **Resposta: B** 
 **Explicação:** Aplicando a fórmula quadrática, temos \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 
\cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}\), resultando em 
\(x = 1\) e \(x = \frac{2}{3}\). 
 
5. Se \(x^2 + 6x + k = 0\) tem uma raiz igual a 2, qual é o valor de \(k\)? 
 A) 4 
 B) 8 
 C) 10 
 D) 12 
 **Resposta: B** 
 **Explicação:** Substituindo \(x = 2\), temos \(2^2 + 6 \cdot 2 + k = 0\), então \(4 + 12 + k = 
0\), resultando em \(k = -16\). 
 
6. Qual é o valor de \(x\) se \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)? 
 A) \(x = 1\) 
 B) \(x = -1\) 
 C) \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}\) 
 D) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{11}}{4}\) 
 **Resposta: C** 
 **Explicação:** Aplicando a fórmula quadrática, temos \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 
2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 
\pm 5}{4}\), resultando em \(x = \frac{2}{4}\) e \(x = \frac{-8}{4}\), ou seja, \(x = \frac{1}{2}\) e 
\(x = -2\). 
 
7. Resolva \(4x^2 - 12x + 9 = 0\). 
 A) \(x = \frac{3}{2}\) 
 B) \(x = \frac{3}{4}\) 
 C) \(x = \frac{1}{2}\) 
 D) \(x = -\frac{3}{2}\) 
 **Resposta: A** 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((2x - 3)^2 = 0\), então \(2x - 3 = 0\) 
resulta em \(x = \frac{3}{2}\). 
 
8. Qual é a soma das raízes da equação \(x^2 - 4x + 4 = 0\)? 
 A) 2 
 B) -2 
 C) 4 
 D) -4 
 **Resposta: C** 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x - 2)^2 = 0\), então as raízes são \(x = 
2\), e a soma das raízes é \(2 + 2 = 4\). 
 
9. Qual é o valor de \(x\) se \(5x^2 - 2x - 3 = 0\)? 
 A) \(x = \frac{1}{5}\) 
 B) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{10}\) 
 C) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{34}}{10}\) 
 D) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{10}\) 
 **Resposta: D**