Para determinar o valor da integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x(1-x)} \, dx\), podemos usar frações parciais para decompor a expressão em termos mais simples. No entanto, a integral resultante não é \(\ln \left(\frac{1}{x}\right) - \ln(1-x)\), como mencionado na descrição da pergunta. A integral correta é \(\ln(x) - \ln(1-x)\). Ao avaliar essa integral no intervalo de 0 a 1, obtemos o valor de \(\ln(1) - \ln(1-1) = 0 - \infty\), o que não resulta em \(\pi\). Certifique-se de revisar os cálculos e as expressões utilizadas para obter o resultado correto.