questao e questao BI

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**Resposta**: Usando a substituição \(x = e^t\), a integral é \(-\frac{\pi \ln(e)}{4} = -
\frac{\pi}{4}\). 
 
23. **Problema**: Determine a série de Taylor de \(f(x) = e^{x^2}\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta**: A série de 
 
 Taylor é \(e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \cdots\). 
 
24. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^4(x) \, dx\). 
 **Resposta**: Usando a identidade \(\cos^4(x) = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}\), a 
integral é \(\frac{3\pi}{32}\). 
 
25. **Problema**: Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} x^3 e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: Usando a substituição \(u = x^2\), obtemos \(\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du 
= \frac{e - 1}{2}\). 
 
26. **Problema**: Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x}\). 
 **Resposta**: Dividindo o numerador e o denominador por \(x\), o limite é 1. 
 
27. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx\). 
 **Resposta**: Usando a substituição \(x = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}\), a integral é 
\(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\). 
 
28. **Problema**: Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta**: Usando integração por partes, o resultado é \(\pi\). 
 
29. **Problema**: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por 
\(y = x^2\) e \(y = 1\) em torno do eixo \(x\). 
 **Resposta**: Usando o método dos anéis, o volume é \(\frac{16}{15}\pi\). 
 
30. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{1} \frac{e^x}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: Esta integral é divergente. 
 
31. **Problema**: Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi} \ln(\sin(x)) \, dx\). 
 **Resposta**: Usando a identidade e propriedades da função logarítmica, o resultado é \(-
\pi \ln 2\). 
 
32. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{\pi} \sin^4(x) \, dx\). 
 **Resposta**: Usando a identidade \(\sin^4(x) = \frac{3 - 4 \cos(2x) + \cos(4x)}{8}\), a 
integral é \(\frac{3\pi}{8}\). 
 
33. **Problema**: Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{x}{1 + e^{-x}}\). 
 **Resposta**: Usando a regra do quociente, a derivada é \(f'(x) = \frac{1 - e^{-x}}{(1 + e^{-
x})^2}\). 
 
34. **Problema**: Determine o valor da integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x(1-x)} \, dx\). 
 **Resposta**: Usando frações parciais, a integral é \(\ln \left(\frac{1}{x}\right) - \ln(1-x) 
\bigg|_{0}^{1}\), que resulta em \(\pi\). 
 
35. **Problema**: Calcule \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral é 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
36. **Problema**: Encontre o ponto de mínimo da função \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\). 
 **Resposta**: A derivada é \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). Igualando a zero, obtemos \(x = 1\), 
que é um ponto de mínimo. 
 
37. **Problema**: Determine o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{x^4}{(1 + x^2)^2} \, dx\). 
 **Resposta**: Usando a substituição \(u = 1 + x^2\), a integral é \(\frac{1}{6} \ln 2\). 
 
38. **Problema**: Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\). 
 **Resposta**: Esta integral é conhecida e seu valor é \(\frac{\pi}{2}\). 
 
39. **Problema**: Encontre o valor da integral \(\int_{0}^{1} x^2 \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta**: Usando integração por partes, o resultado é \(-\frac{1}{9}\).