Qual é o erro de Taylor de e^x em x = 0 após incluir até x^3/3!? A) x^4/4! B) x^5/5! C) x^3/3! D) x^2/2! A) x^4/4!

Para encontrar o erro de Taylor de \(e^x\) em \(x = 0\) após incluir até \(x^3/3!\), podemos usar a fórmula do erro de Taylor para a forma de Lagrange: \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \cdot (x-a)^{n+1} \] Onde \( f^{(n+1)}(c) \) é a derivada de ordem \(n+1\) de \(f(x)\) avaliada em algum ponto \(c\) entre \(a\) e \(x\). Para a função \(f(x) = e^x\), temos que as derivadas são todas iguais a \(e^x\). Portanto, a derivada de ordem \(4\) de \(e^x\) é \(e^x\), e a fórmula do erro de Taylor se torna: \[ R_3(x) = \frac{e^c}{4!} \cdot x^4 \] Como estamos interessados em \(x = 0\), o erro se torna: \[ R_3(0) = \frac{e^c}{4!} \cdot 0^4 = 0 \] Portanto, o erro de Taylor de \(e^x\) em \(x = 0\) após incluir até \(x^3/3!\) é zero. Portanto, nenhuma das alternativas fornecidas está correta.