19. Resposta: 3000

Sendo Sn = an + bn + cn, por soma de Newton, sabemos que para n ≥ 3 vale

Sn = (a + b + c) · Sn−1 − (ab + bc + ca) · Sn−2 + abc · Sn−3.

Note que

ab + bc + ca =
(a + b + c)2
− (a2 + b2 + c2)
2
= 102 − 20
2 = 40.

Temos também que S0 = a0 + b0 + c0 = 3, S1 = 10 e S2 = 20, de modo que

S3 = (a + b + c) · S2 − (ab + bc + ca) · S1 + abc · S0 ⇐⇒ 30 = 10 · 20 − 40 · 10 + abc · 3 ⇐⇒ abc = 230
3.

Assim, temos S1 = 10,S2 = 20,S3 = 30 e

Sn = 10 · Sn−1 − 40 · Sn−2 + 230
3 · Sn−3.

Calculando S4, obtemos

S4 = 10 · S3 − 40 · S2 + 230
3 · S1 =
800
3.

Finalmente, calculando S5 = a5 + b5 + c5, temos que

S5 = 10 · S4 − 40 · S3 + 230
3 · S2 = 3000.