Para calcular a integral de linha da forma diferencial \( \omega = xy \, dx + z \, dy + xy \, dz \) ao longo do arco da parábola \( y = x \) e \( z = 1 \) do ponto \( A(-1, 1, 1) \) ao ponto \( B(-1, 1, 1) \), precisamos parametrizar a curva. 1. Parametrização: Como \( y = x \) e \( z = 1 \), podemos usar \( x = t \) como parâmetro. Assim, temos: - \( x = t \) - \( y = t \) - \( z = 1 \) O intervalo de \( t \) vai de \(-1\) a \(-1\) (ou seja, não há deslocamento, pois A e B são o mesmo ponto). 2. Cálculo dos diferenciais: - \( dx = dt \) - \( dy = dt \) - \( dz = 0 \) (já que \( z \) é constante) 3. Substituição na forma diferencial: \[ \omega = t \cdot t \, dt + 1 \, dt + t \cdot t \cdot 0 = t^2 \, dt + dt = (t^2 + 1) \, dt \] 4. Integral de linha: \[ \int_A^B \omega = \int_{-1}^{-1} (t^2 + 1) \, dt \] Como os limites de integração são iguais, a integral é zero: \[ \int_{-1}^{-1} (t^2 + 1) \, dt = 0 \] Portanto, a integral de linha ao longo do arco da parábola de \( A \) a \( B \) é 0.