Para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos dados, vamos seguir os passos: 1. Identificar os planos: - \( x + 2y + z = 2 \) - \( x = 2y \) - \( x = 0 \) (plano yz) - \( z = 0 \) (plano xy) 2. Encontrar os vértices do tetraedro: - Interseção de \( x = 0 \) e \( z = 0 \): \( (0, 0, 0) \) - Interseção de \( x = 0 \) e \( x + 2y + z = 2 \): \( (0, 1, 0) \) - Interseção de \( z = 0 \) e \( x + 2y + z = 2 \) com \( x = 2y \): - Substituindo \( x = 2y \) na equação do plano: \( 2y + 2y = 2 \) → \( 4y = 2 \) → \( y = \frac{1}{2} \) → \( x = 1 \) - Portanto, o ponto é \( (1, \frac{1}{2}, 0) \) - Interseção de \( x = 2y \) e \( x + 2y + z = 2 \): - Substituindo \( x = 2y \): \( 2y + 2y + z = 2 \) → \( 4y + z = 2 \) - Para \( y = 0 \), temos \( z = 2 \) → ponto \( (0, 0, 2) \) - Para \( y = \frac{1}{2} \), temos \( z = 0 \) → ponto \( (1, \frac{1}{2}, 0) \) 3. Vértices do tetraedro: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(0, 1, 0) \) - \( C(1, \frac{1}{2}, 0) \) - \( D(0, 0, 2) \) 4. Cálculo do volume: O volume \( V \) de um tetraedro é dado por: \[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix} \right| \] Substituindo os vértices: \[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \right| \] Calculando o determinante, obtemos: \[ = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} \text{ u.v.} \] Portanto, o volume do tetraedro é \( \frac{1}{3} \text{ u.v.} \).