Para determinar a equação do plano tangente à superfície parametrizada \( j(u,v) = (v \cos u, v \sin u, 1 - v) \) em \( j(0,1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule \( j(0,1) \): \[ j(0,1) = (1 \cdot \cos(0), 1 \cdot \sin(0), 1 - 1) = (1, 0, 0) \] 2. Calcule as derivadas parciais \( j_u \) e \( j_v \): - \( j_u = \left( -v \sin u, v \cos u, 0 \right) \) - \( j_v = \left( \cos u, \sin u, -1 \right) \) 3. Avalie as derivadas em \( (u,v) = (0,1) \): - \( j_u(0,1) = \left( -1 \cdot \sin(0), 1 \cdot \cos(0), 0 \right) = (0, 1, 0) \) - \( j_v(0,1) = \left( \cos(0), \sin(0), -1 \right) = (1, 0, -1) \) 4. Calcule o vetor normal \( N \) usando o produto vetorial: \[ N = j_u \times j_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 0, -1) \] 5. A equação do plano tangente pode ser escrita na forma: \[ N \cdot (P - P_0) = 0 \] onde \( P_0 = (1, 0, 0) \) e \( P = (x, y, z) \). Substituindo \( N = (-1, 0, -1) \): \[ -1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 0) = 0 \] Simplificando: \[ -x - z + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + z = 1 \] Portanto, a equação do plano tangente à superfície em \( j(0,1) \) é: \[ x + z = 1 \]