Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^2 \) no ponto \( x_0 = 2 \) pela definição formal de derivada, utilizamos a seguinte fórmula: \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \] Substituindo \( f(x) \): \[ f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(2 + \Delta x)^2 - 2^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2) - 4}{\Delta x} \] Isso simplifica para: \[ f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (4 + \Delta x) \] Quando \( \Delta x \) tende a 0, o limite se torna 4. Agora, analisando as alternativas: a) \( 4\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} \) tende para 4 quando \( \Delta x \) tende a 0. (Incorreta, pois a expressão não é bem formulada.) b) \( 4 + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} \) tende para \( +\infty \) quando \( \Delta x \) tende a 0, logo a função não tem derivada no ponto \( x_0 \). (Incorreta, pois o limite é 4.) c) \( 4 + 4\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} \) tende para 4 quando \( \Delta x \) tende a 0. (Correta, pois isso é o que encontramos.) d) \( 4\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} \) é um limite indeterminado quando \( \Delta x \) tende a 0, logo a função não tem derivada no ponto \( x_0 \). (Incorreta, pois o limite é bem definido.) e) \( 4\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} \) tende para valores diferentes se \( \Delta x \) tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto \( x_0 \). (Incorreta, pois o limite é o mesmo de ambos os lados.) Portanto, a alternativa correta é: c) \( 4 + 4\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} \) tende para 4 quando \( \Delta x \) tende a 0.