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Cálculo

Colégio Objetivo

Q14. Seja g(x) uma função derivável e considere a função h(x) = x3 g(x). Sabendo que 3g(x) > xg′(x) no intervalo (0,∞), o que sabemos sobre h(x)?

(a) h(x) é crescente no intervalo (0,∞).
(b) h(x) é decrescente no intervalo (0,∞).
(c) h(x) atinge um valor máximo.
(d) h(x) atinge um valor mínimo.
(e) h(x) atinge um valor máximo e um valor mínimo.

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P1_C_15h

UFRJ

Respostas

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Para analisar a função \( h(x) = x^3 g(x) \) e determinar seu comportamento no intervalo \( (0, \infty) \), precisamos calcular a derivada \( h'(x) \) e usar a condição dada \( 3g(x) > xg'(x) \). 1. Cálculo da derivada: Usando a regra do produto, temos: \[ h'(x) = (x^3 g(x))' = 3x^2 g(x) + x^3 g'(x) \] 2. Analisando a condição: A condição \( 3g(x) > xg'(x) \) pode ser rearranjada para: \[ 3g(x) - xg'(x) > 0 \] Isso implica que: \[ 3g(x) > xg'(x) \implies 3g(x) - xg'(x) > 0 \] 3. Substituindo na derivada: Agora, substituímos na derivada: \[ h'(x) = 3x^2 g(x) + x^3 g'(x) \] Para \( h'(x) \) ser positivo, precisamos que: \[ 3g(x) > -\frac{x^3 g'(x)}{x^2} \implies 3g(x) > -xg'(x) \] Como \( 3g(x) > xg'(x) \), isso sugere que \( h'(x) > 0 \) para \( x > 0 \). 4. Conclusão: Como \( h'(x) > 0 \) no intervalo \( (0, \infty) \), isso significa que \( h(x) \) é crescente nesse intervalo. Portanto, a alternativa correta é: (a) h(x) é crescente no intervalo (0,∞).

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Q1. O valor máximo de uma função derivável é −2, atingido em x igual a 0. Quais a�rmações são verdadeiras? I. A reta tangente no ponto onde f(x) atinge seu valor máximo passa pelo ponto (0,−2). II. A equação da reta tangente a f(x) no ponto de máximo é y = x− 2, porque representa uma reta que passa pelo ponto (0,−2). III. f ′(0) > 0.

(a) Apenas (I) é verdadeira.
(b) Apenas (II) é verdadeira.
(c) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
(d) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
(e) Todas as opções são verdadeiras.

Q2. A �gura abaixo mostra os grá�cos de uma função f (traço mais grosso) e de sua derivada f ′ (mais �no). Mas, ao analisar essa �gura, tome cuidado: há erros nos grá�cos! Dentre as alternativas abaixo, indique a única que aponta corretamente uma incoerência nos grá�cos.

(a) Para os valores de f ′(x) mostrados na �gura, f(x) deveria ser crescente no intervalo (2, 4).
(b) Com f(x) > 0 para −2 < x < 0, f ′(x) teria que ser crescente nesse intervalo.
(c) No desenho, para 0 < x < 2, f(x) é decrescente e f ′(x) é crescente, o que é um absurdo.
(d) Nos pontos onde as duas curvas se cortam, o valor de f ′(x) teria que ser nulo.
(e) No grá�co, a função f ′ tem um valor mínimo em x = 0. Então, f(0) tinha que ser igual a zero.

Q3. Julgue as a�rmações. (I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo I, então a função é constante nesse intervalo. (II) Toda função decrescente em um intervalo I tem taxa de variação média negativa em I. (III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo I, então ela é crescente no intervalo I. É correto a�rmar que:

(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
(c) Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.

Q5. A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade U(q) = −2q2 + 600q − 20000, q ≥ 0 onde q representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?

(a) 150.
(b) 120.
(c) 200.
(d) 170.
(e) 140.

Q6. Sabendo que lim x→0 f(x) = +∞, lim x→−∞ f(x) = 2 e lim x→+∞ f(x) = 2. Assinale a única alternativa cujo grá�co pode representar f(x).

(a) III.
(b) I.
(c) II.
(d) IV.
(e) V.

Q8. Derive a função f(x) = 2x2/9−5x3 e assinale a resposta correta.

(a) f ′(x) = 2x(18+5x3)/(9−5x3)2.
(b) f ′(x) = 2(18−5x3)/(9−5x3)2.
(c) f ′(x) = x(36−5x3)/(9−5x3)2.
(d) f ′(x) = (36−10x3)/(9−5x3)2.
(e) f ′(x) = 2x(18−5x3)/(9−5x3)2.

Q9. Considere a dedução da derivada da função f(x) = x2 no ponto x0 = 2 pela de�nição formal de derivada. Dentre as alternativas a seguir, indique a única que corresponde à conclusão que chegamos durante essa dedução:

(a) 4∆x+(∆x)2/∆x tende para 4 quando ∆x tende a 0.
(b) 4+(∆x)2/∆x tende para +∞ quando ∆x tende a 0, logo a função não tem derivada no ponto x0.
(c) 4+4∆x+(∆x)2/∆x tende para 4 quando ∆x tende a 0.
(d) 4∆x+(∆x)2/∆x é um limite indeterminado quando ∆x tende a 0, logo a função não tem derivada no ponto x0.
(e) 4∆x+(∆x)2/∆x tende para valores diferentes se ∆x tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto x0.

Q11. Considere a função h(x) = (x100−100x)g(x). Sabendo que g é derivável e g(0) = 1. Podemos a�rmar que o valor de h′(0) é igual a:

(a) -100.
(b) -99.
(c) 100.
(d) Nada podemos a�rmar por não conhecermos a expressão algébrica de g.
(e) 99.

Q13. Sejam f e g funções de�nidas e deriváveis para todo x ∈ R, tais que f(2) = g(2) e f ′(x) < g′(x) para todo x no intervalo [1, 3]. Marque a única alter- nativa que é sempre verdadeira para todas as funções f e g que se encaixem nessas condições.

(a) f(x) ≥ g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) ≤ g(x) quando x está em [2, 3].
(b) f(x) ≤ g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) ≥ g(x) quando x está em [2, 3].
(c) (f(x)−g(x)) é crescente em [1, 2] e decrescente em [2, 3].
(d) (f(x)−g(x)) é decrescente em [1, 2] e crescente em [2, 3].
(e) f(x) ≤ g(x) para todo x em [1, 3].