Vamos analisar as informações dadas: 1. Temos duas funções \( f \) e \( g \) que são deriváveis e definidas em todo \( \mathbb{R} \). 2. Sabemos que \( f(2) = g(2) \). 3. A derivada de \( f \) é sempre menor que a derivada de \( g \) no intervalo \( [1, 3] \), ou seja, \( f'(x) < g'(x) \) para todo \( x \) em \( [1, 3] \). A condição \( f'(x) < g'(x) \) implica que \( f(x) \) está crescendo mais lentamente que \( g(x) \) nesse intervalo. Como \( f(2) = g(2) \), isso sugere que \( f(x) \) deve ser menor que \( g(x) \) para \( x > 2 \) e maior ou igual a \( g(x) \) para \( x < 2 \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( f(x) \geq g(x) \) quando \( x \) está em \( [1, 2] \) e \( f(x) \leq g(x) \) quando \( x \) está em \( [2, 3] \). - Isso parece consistente com as informações. b) \( f(x) \leq g(x) \) quando \( x \) está em \( [1, 2] \) e \( f(x) \geq g(x) \) quando \( x \) está em \( [2, 3] \). - Isso contradiz a condição de que \( f'(x) < g'(x) \). c) \( (f(x) - g(x)) \) é crescente em \( [1, 2] \) e decrescente em \( [2, 3] \). - Isso não é verdade, pois \( f(x) - g(x) \) deve ser decrescente em \( [1, 2] \) e crescente em \( [2, 3] \). d) \( (f(x) - g(x)) \) é decrescente em \( [1, 2] \) e crescente em \( [2, 3] \). - Isso também não é verdade, pois \( f(x) - g(x) \) deve ser crescente em \( [1, 2] \) e decrescente em \( [2, 3] \). e) \( f(x) \leq g(x) \) para todo \( x \) em \( [1, 3] \). - Isso não é necessariamente verdade, pois pode haver um ponto onde \( f(x) \) é maior que \( g(x) \) antes de \( x = 2 \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( f(x) \geq g(x) \) quando \( x \) está em \( [1, 2] \) e \( f(x) \leq g(x) \) quando \( x \) está em \( [2, 3] \).