Para determinar os valores de \( a \) e \( b \) do vetor \( (1, a, b) \) que é um autovetor associado ao autovalor \( 3 \), precisamos resolver a equação \( A \cdot v = \lambda v \), onde \( v = (1, a, b) \) e \( \lambda = 3 \). Primeiro, vamos multiplicar a matriz \( A \) pelo vetor \( v \): \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ -15 & -5 & -1 \end{bmatrix}, \quad v = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} \] Calculando \( A \cdot v \): \[ A \cdot v = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 + 0 \cdot a + 0 \cdot b \\ -1 \cdot 1 + 4 \cdot a + 0 \cdot b \\ -15 \cdot 1 - 5 \cdot a - 1 \cdot b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 + 4a \\ -15 - 5a - b \end{bmatrix} \] Agora, igualamos isso a \( 3v \): \[ 3v = 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3a \\ 3b \end{bmatrix} \] Assim, temos o seguinte sistema de equações: 1. \( 3 = 3 \) (sempre verdadeiro) 2. \( -1 + 4a = 3a \) 3. \( -15 - 5a - b = 3b \) Resolvendo a segunda equação: \[ -1 + 4a = 3a \implies 4a - 3a = 1 \implies a = 1 \] Agora, substituindo \( a = 1 \) na terceira equação: \[ -15 - 5(1) - b = 3b \implies -15 - 5 - b = 3b \implies -20 - b = 3b \implies -20 = 4b \implies b = -5 \] Portanto, os valores são \( a = 1 \) e \( b = -5 \). A alternativa correta é: (c) a = 1, b = -5.