Seja R a reflexão em R3 pelo plano x + y + z = 0 e ~v = (0, 4, 5). Calcule R~v: (a) (−6,−2,−1)

Para calcular a reflexão \( R\mathbf{v} \) do vetor \( \mathbf{v} = (0, 4, 5) \) pelo plano \( x + y + z = 0 \), siga os passos abaixo: 1. Identifique o vetor normal do plano: O vetor normal \( \mathbf{n} \) do plano \( x + y + z = 0 \) é \( (1, 1, 1) \). 2. Calcule a projeção de \( \mathbf{v} \) sobre \( \mathbf{n} \): \[ \text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n} \] Onde: \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 9 \] \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 \] Portanto: \[ \text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{v} = \frac{9}{3} (1, 1, 1) = 3(1, 1, 1) = (3, 3, 3) \] 3. Calcule o vetor de reflexão: \[ R\mathbf{v} = \mathbf{v} - 2 \cdot \text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{v} \] \[ R\mathbf{v} = (0, 4, 5) - 2(3, 3, 3) = (0, 4, 5) - (6, 6, 6) = (-6, -2, -1) \] Portanto, a reflexão \( R\mathbf{v} \) é \( (-6, -2, -1) \).