Para resolver essa questão, vamos analisar as opções com base nas propriedades das matrizes e sistemas lineares. 1. S é o conjunto-solução de \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \). 2. \( S' \) é o conjunto-solução de \( MA\mathbf{x} = M\mathbf{b} \). Quando multiplicamos a equação \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) pela matriz \( M \), estamos transformando o sistema. A relação entre \( S \) e \( S' \) depende se \( M \) é invertível ou não. - Se \( M \) é invertível, a multiplicação não altera as soluções, ou seja, \( S' \) será igual a \( S \). - Se \( M \) não é invertível, pode haver soluções adicionais ou a solução pode ser alterada, mas não podemos garantir que \( S \subset S' \) ou \( S' \subset S \) de forma geral. Agora, analisando as alternativas: a) \( S \subset S' \) quaisquer que sejam \( A, \mathbf{b} \) e \( M \). - Isso não é verdade, pois se \( M \) não for invertível, pode haver soluções em \( S' \) que não estão em \( S \). b) \( S' \subset S \) quaisquer que sejam \( A, \mathbf{b} \) e \( M \). - Também não é verdade, pelas mesmas razões. c) Quaisquer que sejam \( A \) e \( \mathbf{b} \), \( S' \subset S \) apenas se \( M \) é invertível. - Isso não faz sentido, pois se \( M \) é invertível, as soluções são equivalentes, não uma inclusão. d) Quaisquer que sejam \( A \) e \( \mathbf{b} \), \( S \subset S' \) apenas se \( M \) é invertível. - Isso é verdade, pois se \( M \) é invertível, as soluções de \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) e \( MA\mathbf{x} = M\mathbf{b} \) são as mesmas. Portanto, a alternativa correta é: d) quaisquer que sejam \( A \) e \( \mathbf{b} \), \( S \subset S' \) apenas se \( M \) é invertível.