Para resolver essa questão, vamos analisar a transformação linear \( T \) que associa a cada função a sua derivada. As funções dadas são \( e^{2x} \) e \( 2xe^{2x} \). 1. Derivada de \( e^{2x} \): \[ T(e^{2x}) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x} \] Aqui, \( e^{2x} \) é um autovetor de \( T \) com autovalor \( 2 \). 2. Derivada de \( 2xe^{2x} \): Usando a regra do produto: \[ T(2xe^{2x}) = \frac{d}{dx}(2xe^{2x}) = 2e^{2x} + 4xe^{2x} = 2e^{2x}(1 + 2x) \] Essa função não é um autovetor, pois não é proporcional a \( 2xe^{2x} \). Agora, temos um autovalor \( 2 \) associado a um autovetor \( e^{2x} \), e a função \( 2xe^{2x} \) não gera um autovalor distinto, mas sim uma nova combinação. Portanto, a transformação \( T \) tem um autovalor distinto e um autovetor correspondente, e a outra função não gera um autovalor igual ou distinto. Analisando as alternativas: - (a) T tem dois autovalores distintos e duas direções de autovetores. Incorreta. - (b) T tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores. Incorreta. - (c) T tem dois autovalores iguais e duas direções de autovetores. Incorreta. - (d) T tem autovalores complexos. Incorreta. Nenhuma das alternativas parece correta com base na análise. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.