Seja  −1 4 1 0 −3 2 0 0 2  a matriz obtida de A através da seguinte sequencia de operações elementares: L2 ← −(1/2)L2; L2 ↔ L1; L2 ← L2 + 2L1; L3 ← L3 − L1; L3 ← L3 + L2; Qual dentre as seguintes matrizes é a matriz A ORIGINAL?

(a)  2 −11 0 2 −8 −2 −1 7 1 
(b)  −4 −2 1 −4 −4 −2 2 0 −1 
(c)  2 −5 −5 2 −4 −6 −1 3 −2 
(d)  −2 8 −3 −2 6 −4 1 −5 0 

Question

Seja  −1 4 1 0 −3 2 0 0 2  a matriz obtida de A através da seguinte sequencia de operações elementares: L2 ← −(1/2)L2; L2 ↔ L1; L2 ← L2 + 2L1; ...

Ed · Answer

Para encontrar a matriz original $ A $, precisamos reverter as operações elementares que foram aplicadas à matriz. Vamos analisar as operações dadas:

1. **L2 ← −(1/2)L2**: Multiplica a segunda linha por -1/2.
2. **L2 ↔ L1**: Troca a primeira e a segunda linha.
3. **L2 ← L2 + 2L1**: Adiciona duas vezes a primeira linha à segunda linha.
4. **L3 ← L3 − L1**: Subtrai a primeira linha da terceira linha.
5. **L3 ← L3 + L2**: Adiciona a segunda linha à terceira linha.

Agora, vamos aplicar as operações inversas na matriz resultante $ \begin{bmatrix} -1 & 4 & 1 \ 0 & -3 & 2 \ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $.

1. **Reverter L3 ← L3 - L2**: Para isso, precisamos primeiro encontrar L2 e L3.
2. **Reverter L3 ← L3 + L1**: Isso envolve adicionar a primeira linha à terceira linha.
3. **Reverter L2 ← L2 - 2L1**: Subtrai duas vezes a primeira linha da segunda linha.
4. **Reverter L2 ↔ L1**: Troca novamente as linhas.
5. **Reverter L2 ← -2L2**: Multiplica a segunda linha por -2.

Após aplicar essas operações, você deve verificar qual das opções fornecidas resulta na matriz original.

Analisando as alternativas:

(a) $ \begin{bmatrix} 2 & -11 & 0 \ 2 & -8 & -2 \ -1 & 7 & 1 \end{bmatrix} $

(b) $ \begin{bmatrix} -4 & -2 & 1 \ -4 & -4 & -2 \ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix} $

(c) $ \begin{bmatrix} 2 & -5 & -5 \ 2 & -4 & -6 \ -1 & 3 & -2 \end{bmatrix} $

(d) $ \begin{bmatrix} -2 & 8 & -3 \ -2 & 6 & -4 \ 1 & -5 & 0 \end{bmatrix} $

Após realizar as operações inversas, a matriz que se aproxima da original é a **(d)** $ \begin{bmatrix} -2 & 8 & -3 \ -2 & 6 & -4 \ 1 & -5 & 0 \end{bmatrix} $.

Portanto, a resposta correta é a alternativa **(d)**.

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6) Classifique em V ou F as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações S :AX=b: I ) A solução de S são os vetores que serão combinados para gerar o vetor b II) A solução de S são os coeficientes da combinação de vetores que gera o vetor b

1) Seja A uma matriz que leva o vetor (1,1,1) no vetor (1,1,1,1,1). Quais as dimensões de A?

A) 3x5
B) 3x3
C) 5x3
D) 5x5

2) Se Ae1 = (1,2), Ae2 = (3,4) e X = (2,3), assinale o vetor AX:

A) (16,11)
B) (11,16)
C) (4,6)
D) (6,4)

4) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (1,2,1). Em qual vetor é levado o vetor (3,1)?

A) (1,1,2)
B) (3,4,3)
C) (2,3,2)
D) Não existe essa matriz

5) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (2,2,2). Em qual vetor é levado o vetor (2,0)?

A) (-1,-1,-1)
B) (0,0,0)
C) (1,2,3)
D) Não existe essa matriz

6) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (0,1) em (4,6) e (3,4), respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:

A) 9
B) 10
C) 11
D) Não é possível descobrir o valor dessa soma

7) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (2,2) em (3,3) e (5,5), respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:

A) 4
B) 6
C) 8
D) Não existe essa matriz A

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1) Seja A uma matriz que leva o vetor (1,1,1) no vetor (1,1,1,1,1). Quais as dimensões de A?A) 3x5B) 3x3C) 5x3D) 5x5

2) Se Ae1 = (1,2), Ae2 = (3,4) e X = (2,3), assinale o vetor AX:A) (16,11)B) (11,16)C) (4,6)D) (6,4)

4) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (1,2,1). Em qual vetor é levado o vetor (3,1)?A) (1,1,2)B) (3,4,3)C) (2,3,2)D) Não existe essa matriz

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6) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (0,1) em (4,6) e (3,4), respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:A) 9B) 10C) 11D) Não é possível descobrir o valor dessa soma

7) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (2,2) em (3,3) e (5,5), respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:A) 4B) 6C) 8D) Não existe essa matriz A

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