Para encontrar uma base para o espaço \( F = \{(a, b, c, d, e) \in \mathbb{R}^5 | a = d - 2b, b = 2e + a\} \), vamos analisar as equações dadas. 1. A primeira equação é \( a = d - 2b \). 2. A segunda equação é \( b = 2e + a \). Substituindo a primeira equação na segunda, temos: \[ b = 2e + (d - 2b) \] \[ 3b = 2e + d \] \[ d = 3b - 2e \] Agora, podemos expressar \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) e \( e \) em termos de \( b \) e \( e \): - \( a = d - 2b = (3b - 2e) - 2b = b - 2e \) - \( b = b \) - \( c = c \) (livre) - \( d = 3b - 2e \) - \( e = e \) Assim, podemos expressar um vetor genérico em \( F \) como: \[ (a, b, c, d, e) = (b - 2e, b, c, 3b - 2e, e) \] Separando as variáveis livres \( b \), \( c \) e \( e \): \[ = b(1, 1, 0, 3, 0) + c(0, 0, 1, 0, 0) + e(-2, 0, 0, -2, 1) \] Portanto, uma base para \( F \) pode ser formada pelos vetores: 1. \( (1, 1, 0, 3, 0) \) 2. \( (0, 0, 1, 0, 0) \) 3. \( (-2, 0, 0, -2, 1) \) Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( {(0, 1, 0, 2, 1/2), (1,−2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0)} \) - Não parece ser uma base correta. b) \( {(1,−2, 1), (0, 1, 0)} \) - Não é uma base completa. c) \( {(1, 0, 0, 1,−1/2), (0, 1, 0, 2, 1/2)} \) - Não é uma base correta. d) \( {(2, 0, 0, 2,−1), (0, 2, 0, 4, 1), (0, 0, 1, 0, 0)} \) - Essa opção parece ser a mais adequada, pois pode gerar os vetores necessários. Portanto, a alternativa correta é: d) {(2, 0, 0, 2,−1), (0, 2, 0, 4, 1), (0, 0, 1, 0, 0)}.