calcule ???? ( ???? ) = ∫ − ???? ???? cos ⁡ ( 2 ???? ) ⋅ cos ⁡ ( 5 ???? )   ???? ???? g(x)=∫ −L L ​ cos(2x)⋅cos(5x)

Para calcular a integral \( g(x) = \int_{-L}^{L} \cos(2x) \cdot \cos(5x) \, dx \), podemos usar a identidade do produto de cossenos: \[ \cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)] \] Aplicando isso, temos: \[ \cos(2x) \cdot \cos(5x) = \frac{1}{2} [\cos(3x) + \cos(7x)] \] Assim, a integral se torna: \[ g(x) = \int_{-L}^{L} \frac{1}{2} [\cos(3x) + \cos(7x)] \, dx \] Podemos separar a integral: \[ g(x) = \frac{1}{2} \left( \int_{-L}^{L} \cos(3x) \, dx + \int_{-L}^{L} \cos(7x) \, dx \right) \] As integrais de \(\cos(kx)\) de \(-L\) a \(L\) são zero para \(k \neq 0\). Portanto: \[ \int_{-L}^{L} \cos(3x) \, dx = 0 \quad \text{e} \quad \int_{-L}^{L} \cos(7x) \, dx = 0 \] Assim, temos: \[ g(x) = \frac{1}{2} (0 + 0) = 0 \] Portanto, o resultado final é: \[ g(x) = 0 \]