Sabendo que |~u| = 4, |~v| = 2 e o ângulo entre ~u e ~v é 2π/3, determine o cosseno do ângulo θ entre (~u+ ~v) e (~u− ~v).

Para determinar o cosseno do ângulo θ entre os vetores \(\vec{u} + \vec{v}\) e \(\vec{u} - \vec{v}\), podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores: \[ \cos(\theta) = \frac{(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})}{|\vec{u} + \vec{v}| |\vec{u} - \vec{v}|} \] 1. Cálculo do produto escalar: \[ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v} \] \[ = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \] Sabemos que \(|\vec{u}| = 4\) e \(|\vec{v}| = 2\): \[ = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \] 2. Cálculo das magnitudes: Para \(|\vec{u} + \vec{v}|\) e \(|\vec{u} - \vec{v}|\), usamos a fórmula: \[ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\phi) \] onde \(\phi\) é o ângulo entre \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\). Sabemos que \(\phi = \frac{2\pi}{3}\), então \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = 16 + 4 + 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 20 - 8 = 12 \] Portanto, \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Agora, para \(|\vec{u} - \vec{v}|\): \[ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\phi) \] \[ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 16 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 20 + 8 = 28 \] Portanto, \(|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\). 3. Cálculo do cosseno: Agora podemos calcular \(\cos(\theta)\): \[ \cos(\theta) = \frac{12}{(2\sqrt{3})(2\sqrt{7})} = \frac{12}{4\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7} \] Portanto, o cosseno do ângulo θ entre \((\vec{u} + \vec{v})\) e \((\vec{u} - \vec{v})\) é \(\frac{\sqrt{21}}{7}\).