Para resolver a questão, precisamos usar a fórmula do cosseno da soma de ângulos: \[ \cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y \] Dado que \( \sin x = \sqrt{3} \), precisamos encontrar \( \cos x \). Sabemos que: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Substituindo \( \sin x \): \[ (\sqrt{3})^2 + \cos^2 x = 1 \implies 3 + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 - 3 = -2 \] Parece que houve um erro, pois \( \sin x \) não pode ser maior que 1. Vamos corrigir isso. Na verdade, \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e não \( \sqrt{3} \). Assim, temos: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] Agora, para \( \cos y = \sqrt{2} \), também precisamos corrigir. O valor correto é \( \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}} \) ou \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Agora, substituindo os valores na fórmula: \[ \cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y \] Sabemos que \( \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Substituindo: \[ \cos(x + y) = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] Calculando: \[ \cos(x + y) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \] Assim, a resposta correta é: C) \( \sqrt{2} - \sqrt{6} \)