Se 0 < x < ???? e tg x + cotg x = 3, então y é igual a: A) tg x B) cos x C) sec x D) sen x

Para resolver a equação \( \tan x + \cotg x = 3 \), podemos usar a relação entre as funções trigonométricas. Sabemos que: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{e} \quad \cotg x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Assim, podemos reescrever a equação: \[ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 3 \] Multiplicando ambos os lados por \( \sin x \cos x \) para eliminar as frações, obtemos: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 3 \sin x \cos x \] Sabemos que \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), então substituímos: \[ 1 = 3 \sin x \cos x \] Utilizando a identidade \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \), podemos reescrever a equação: \[ 1 = \frac{3}{2} \sin(2x) \] Portanto: \[ \sin(2x) = \frac{2}{3} \] Agora, precisamos encontrar \( y \) em relação a \( x \). Vamos analisar as alternativas: A) \( \tan x \) B) \( \cos x \) C) \( \sec x \) D) \( \sin x \) Como \( \tan x + \cotg x = 3 \) implica que \( \tan x \) e \( \cotg x \) são positivos, podemos concluir que \( x \) está no primeiro quadrante. A partir da relação \( \tan x = \frac{2}{\sqrt{5}} \) (que pode ser obtida a partir da equação original), podemos calcular \( \sin x \) e \( \cos x \): \[ \sin x = \frac{2}{\sqrt{5}} \quad \text{e} \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Assim, a alternativa que representa \( y \) como \( \sin x \) é a correta. Portanto, a resposta correta é: D) sen x.