Para a função h(x) = x^4 - 10x^2 + 9, em quais valores de x encontramos os mínimos locais? a) 1 e 2 b) -1 e 1 c) 3 e -3 d) Nenhum mínimo local

Para encontrar os mínimos locais da função \( h(x) = x^4 - 10x^2 + 9 \), precisamos calcular a derivada e encontrar os pontos críticos. 1. Calcular a derivada: \[ h'(x) = 4x^3 - 20x \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 4x^3 - 20x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 5) = 0 \] Isso nos dá \( x = 0 \) ou \( x^2 - 5 = 0 \) (ou seja, \( x = \pm\sqrt{5} \)). 3. Pontos críticos: \( x = 0, \sqrt{5}, -\sqrt{5} \). 4. Analisar a segunda derivada: \[ h''(x) = 12x^2 - 20 \] 5. Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos: - Para \( x = 0 \): \[ h''(0) = 12(0)^2 - 20 = -20 \quad (\text{máximo local}) \] - Para \( x = \sqrt{5} \): \[ h''(\sqrt{5}) = 12(5) - 20 = 60 \quad (\text{mínimo local}) \] - Para \( x = -\sqrt{5} \): \[ h''(-\sqrt{5}) = 12(5) - 20 = 60 \quad (\text{mínimo local}) \] Os mínimos locais ocorrem em \( x = \sqrt{5} \) e \( x = -\sqrt{5} \), que não estão nas opções. Portanto, a resposta correta é: d) Nenhum mínimo local.