Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4} \). a) 0 b) \( \frac{1}{2} \) c) 1 d) Não existe

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4} \), vamos analisar a expressão. 1. Substituição direta: Se substituirmos \( x = 0 \), obtemos: \[ \frac{0^2 - \cos(0)}{0^4} = \frac{0 - 1}{0} = \frac{-1}{0} \] Isso indica que o limite pode ser indeterminado. 2. Usando a série de Taylor para \(\cos(x)\): A série de Taylor de \(\cos(x)\) em torno de \(x = 0\) é: \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots \] Portanto, podemos escrever: \[ x^2 - \cos(x) = x^2 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = x^2 - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \] Simplificando: \[ x^2 - \cos(x) = \frac{3x^2}{2} - 1 + \frac{x^4}{24} \] 3. Substituindo na expressão do limite: Agora, substituímos isso na expressão do limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x^2}{2} - 1 + \frac{x^4}{24}}{x^4} \] Isso se torna: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{3/2}{x^2} - \frac{1}{x^4} + \frac{1}{24} \right) \] 4. Analisando o limite: Quando \(x\) se aproxima de 0, o termo \(-\frac{1}{x^4}\) domina, levando o limite a \(-\infty\). Portanto, a resposta correta é que o limite não existe. A alternativa correta é: d) Não existe.