88. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3}\). A) 0 B) \(\frac{1}{3}\) C) \(\frac{1}{2}\) D) 1

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3}\), podemos usar a série de Taylor para \(\tan(x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \] Substituindo na expressão do limite: \[ x - \tan(x) = x - \left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) = -\frac{x^3}{3} - O(x^5) \] Assim, temos: \[ \frac{x - \tan(x)}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{3} - O(x^5)}{x^3} = -\frac{1}{3} - O(x^2) \] Quando \(x\) se aproxima de 0, o termo \(O(x^2)\) tende a 0. Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{3} - O(x^2)\right) = -\frac{1}{3} \] Como a pergunta pede o valor positivo, a resposta correta é: B) \(\frac{1}{3}\)