Para derivar a função \( f(x) = 3x^2 + 5(\sqrt{x^2 + 3}) - \sqrt{x} \), vamos seguir os passos: 1. Derivadas das funções: - A derivada de \( 3x^2 \) é \( 6x \). - Para \( 5(\sqrt{x^2 + 3}) \), usamos a regra da cadeia: \[ \frac{d}{dx}[\sqrt{x^2 + 3}] = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \] Portanto, a derivada é \( 5 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \). - A derivada de \( -\sqrt{x} \) é \( -\frac{1}{2\sqrt{x}} \). 2. Juntando tudo: \[ f'(x) = 6x + 5 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \] 3. Calculando \( f'(1) \): - Substituindo \( x = 1 \): \[ f'(1) = 6(1) + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + 3}} - \frac{1}{2\sqrt{1}} \] \[ = 6 + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2} \] \[ = 6 + 5 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \] \[ = 6 + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \] \[ = 6 + \frac{4}{2} = 6 + 2 = 8 \] Portanto, o valor de \( f'(1) \) é 8.