Para determinar as condições em que o polinômio \( R(x) = P(x) - Q(x) \) é de grau 2, precisamos analisar os polinômios \( P(x) \) e \( Q(x) \). 1. Identificar os graus dos polinômios: - \( P(x) = ax^3 + 2bx^2 - cx - 4 \) é um polinômio de grau 3. - \( Q(x) = dx^3 - ex^2 - 4fx + 1 \) também é um polinômio de grau 3. 2. Subtrair os polinômios: - \( R(x) = P(x) - Q(x) = (a - d)x^3 + (2b + e)x^2 + (-c + 4f)x - 5 \). 3. Condições para que \( R(x) \) seja de grau 2: - Para que \( R(x) \) seja de grau 2, o coeficiente de \( x^3 \) deve ser zero, ou seja, \( a - d = 0 \) (ou \( a = d \)). - O coeficiente de \( x^2 \) pode ser diferente de zero. Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( a \neq -1 \) e \( d = -2 \) B) \( a = 1 \) e \( d = -2 \) C) \( a = 1 \) e \( d \neq -2 \) D) \( a \neq 1 \) e \( d \neq 2 \) Para que \( R(x) \) seja de grau 2, precisamos que \( a = d \). Assim, a alternativa correta deve garantir que \( a \) e \( d \) sejam iguais, mas não especifica valores que tornem \( R(x) \) de grau 2. A alternativa que melhor se encaixa nas condições necessárias é a C) \( a = 1 \) e \( d \neq -2 \), pois garante que \( a \) e \( d \) sejam iguais, mas não restringe \( d \) a um valor que tornaria \( R(x) \) de grau 3. Portanto, a resposta correta é C).