Para calcular a área da região compreendida entre o gráfico da função \( f(x) = ||x-4|-2| \), o eixo das abscissas e as retas \( x=0 \) e \( x=6 \), vamos primeiro entender como a função se comporta. 1. Identificar os pontos críticos: - A função \( |x-4| \) é igual a 0 quando \( x=4 \). - A função \( |x-4|-2 \) é igual a 0 quando \( |x-4|=2 \), ou seja, \( x=2 \) e \( x=6 \). - Portanto, a função \( ||x-4|-2| \) muda de comportamento nos pontos \( x=2 \), \( x=4 \) e \( x=6 \). 2. Calcular os valores da função: - Para \( x=0 \): \( f(0) = ||0-4|-2| = |4-2| = 2 \). - Para \( x=2 \): \( f(2) = ||2-4|-2| = |2-2| = 0 \). - Para \( x=4 \): \( f(4) = ||4-4|-2| = |0-2| = 2 \). - Para \( x=6 \): \( f(6) = ||6-4|-2| = |2-2| = 0 \). 3. Desenhar o gráfico: - O gráfico da função forma um "V" invertido entre os pontos \( (0, 2) \), \( (2, 0) \), \( (4, 2) \) e \( (6, 0) \). 4. Calcular a área: - A área pode ser dividida em duas partes: - De \( x=0 \) a \( x=2 \): forma um triângulo com base 2 e altura 2. Área = \( \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \). - De \( x=2 \) a \( x=4 \): forma um trapézio com bases 0 e 2 e altura 2. Área = \( \frac{1}{2} \times (0 + 2) \times 2 = 2 \). - De \( x=4 \) a \( x=6 \): forma outro triângulo com base 2 e altura 2. Área = \( \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \). 5. Somar as áreas: - Área total = \( 2 + 2 + 2 = 6 \). Portanto, a área da região é igual a c) 6.