Encontre a integral definida \(\int_{0}^{1} (12x^2 - 6x + 1) \, dx\). a) \(\frac{5}{3}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{1}{2}\) d) \(\frac{2}{3}\)

Para resolver a integral definida \(\int_{0}^{1} (12x^2 - 6x + 1) \, dx\), vamos calcular a integral indefinida primeiro. 1. Calcular a integral indefinida: \[ \int (12x^2 - 6x + 1) \, dx = 4x^3 - 3x^2 + x + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_{0}^{1} (12x^2 - 6x + 1) \, dx = \left[ 4x^3 - 3x^2 + x \right]_{0}^{1} \] Agora, substituímos os limites: - Para \(x = 1\): \[ 4(1)^3 - 3(1)^2 + (1) = 4 - 3 + 1 = 2 \] - Para \(x = 0\): \[ 4(0)^3 - 3(0)^2 + (0) = 0 \] 3. Subtrair os resultados: \[ 2 - 0 = 2 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\frac{5}{3}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{1}{2}\) d) \(\frac{2}{3}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(2\). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!