Determine o valor de \( \int_0^1 x^2 \ln x \, dx \). Resposta: \(-\frac{1}{9}\). Explicação: Usa integração por partes.

Para calcular \( \int_0^1 x^2 \ln x \, dx \) usando integração por partes, siga os passos abaixo: 1. Escolha \( u \) e \( dv \): - \( u = \ln x \) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \( dv = x^2 \, dx \) \(\Rightarrow v = \frac{x^3}{3}\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int x^2 \ln x \, dx = \left( \ln x \cdot \frac{x^3}{3} \right) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \left( \ln x \cdot \frac{x^3}{3} \right) - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx \] 3. Calcule a integral: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Portanto: \[ \int x^2 \ln x \, dx = \left( \ln x \cdot \frac{x^3}{3} \right) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C \] \[ = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C \] 4. Avalie de 0 a 1: \[ \int_0^1 x^2 \ln x \, dx = \left[ \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} \right]_0^1 \] Quando \( x = 1 \): \[ = \frac{1 \cdot \ln 1}{3} - \frac{1}{9} = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9} \] Quando \( x = 0 \), a parte \( \frac{x^3 \ln x}{3} \) tende a 0 (usando limite) e \( -\frac{x^3}{9} \) também tende a 0. 5. Resultado final: \[ \int_0^1 x^2 \ln x \, dx = -\frac{1}{9} \] Portanto, a resposta está correta: \(-\frac{1}{9}\).